Болезни

Разложение на множители больших чисел. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Разложение многочлена на множители. Часть 2

В этой статье мы продолжим разговор о том, как раскладывать многочлен на множители. Мы уже говорили о том, что разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.

Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :

вынесение общего множителя за скобку
использование формул сокращенного умножения
по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
способ группировки
деление многочлена на двучлен
метод неопределенных коэффициентов.

Мы уже подробно рассмотрели . В этой статье мы остановимся на четвертом способе, способе группировки.

Если количество слагаемых в многочлене превышает три, то мы пытаемся применить способ группировки . Он заключается в следующем:

1.Группируем слагаемые определенным образом так, чтобы потом каждую группу можно было разложить на множители каким-то способом. Критерий того, что слагаемые сгруппированы верно - наличие одинаковых множителей в каждой группе.

2. Выносим за скобку одинаковые множители.

Поскольку этот способ применяется наиболее часто, разберем его на примерах.

Пример 1.

Решение. 1. Объединим слагаемые в группы:

2. Вынесем из каждой группы общий множитель:

3. Вынесем множитель, общий для обеих групп:

Пример 2. Разложить на множители выражение:

1. Сгруппируем последние три слагаемых и разложим на множители по формуле квадрата разности:

2. Разложим получившееся выражение на множители по формуле разности квадратов:

Пример 3. Решить уравнение:

В левой части уравнения четыре слагаемых. Попробуем разложить левую часть на множители с помощью группировки.

1. Чтобы структура левой части уравнения была яснее, введем замену переменной: ,

Получим уравнение такого вида:

2. Разложим левую часть на множители с помощью группировки:

Внимание! Чтобы не ошибиться со знаками, я рекомендую объединять слагаемые в группы "как есть", то есть не меняя знаки коэффициентов, и следующим действием, если необходимо, выносить за скобку "минус".

3. Итак, мы получили уравнение:

4. Вернемся к исходной переменной:

Разделим обе части на . Получим: . Отсюда

Ответ: 0

Пример 4. Решить уравнение:

Чтобы структура уравнения стала более "прозрачной", введем замену переменной:

Получим уравнение:

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого сгруппируем первое и второе слагаемые и вынесем за скобку :

вынесем за скобку :

Вернемся к уравнению:

Отсюда или ,

Вернемся к исходной переменной:

Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.

Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :

вынесение общего множителя за скобку
использование формул сокращенного умножения
по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
способ группировки
деление многочлена на двучлен
метод неопределенных коэффициентов

В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.

Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.

Схема вынесения общего множителя выглядит так:

Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен:

Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.

1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.

2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.

Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.

Итак, общий множитель равен

3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :

Итак, получили уравнение

Приравняем каждый множитель к нулю:

Получаем - корень первого уравнения.

Корни :

Ответ: -1, 2, 4

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.

1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых , то пытаемся применить формулу разности квадратов :

или формулу разности кубов :

Здесь буквы и обозначают число или алгебраическое выражение.

2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов :

3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы :

или формулу квадрата разности :

Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена :

Здесь и - корни квадратного уравнения

Пример 3. Разложить на множители выражение:

Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:

Пример 4. Разложить на множители выражение:

Рещение. Перед нами разность квадратов двух выражений. Первое выражение: , второе выражение:

Применим формулу для разности квадратов:

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:

Рассмотрим на конкретных примерах, как разложить многочлен на множители.

Разложение многочленов будем проводить в соответствии с .

Разложить многочлены на множители:

Проверяем, нет ли общего множителя. есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:

Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.

Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений:2∙5x∙3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — :

Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:

В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a² — квадрат a, 1=1². Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:

Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:

в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4² и a² — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:

Общий множитель -2x выносим за скобки:

В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4³, x³- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле :

Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала , а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:

Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:

Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-«, при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:

Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:

Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):

Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:

В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:

Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки.